来源:《高中数理化》2017年第14期 作者:邸银山;
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一道组合数化简题的多解思维

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例 已知n,k∈N*,且k≤n,化简:C1n+22C2n+32C3n+…+k2Ckn+…+n2Cnn.思路1 由于与组合数有关的和式化简问题,往往可借助倒序求和加以巧解,所以本题需要先对kCkn变形处理,以便创设有利情境.解法1 (倒序求和法)因为kCkn=k·n!(n-k)!k!(=n·n-1)!(=nCk-1n-k)!(k-1)!n-1,所以C1n+22C2n+32C3n+…+k2Ckn+…+n2Cnn=n(C0n-1+2C1n-1+3C2n-1+…+nCn-1n-1).设S=C0n-1+2C1n-1+3C2n-1+…+nCn-1n-1,则S=nCn-1nn-1+(n-1)C-2n-1+(n-2)Cn-3n-1+…+C0n-1.又注意到C01-3n-1=Cn-1n-1,Cn-1=Cn-2n-1,C2n-1=Cnn-1,…,Cn-1n-1=C0n-1,将以上两式相加可得2S=(1+n)C0n-1+(1+n)C1n-1+(1+n)C2n-1+(1+n)Cn-10n-1=(1+n)(Cn-1+C1n-1+C2nn-1+…+C-1n-1)=(1+n)·2n-1......(本文共计1页)       [继续阅读本文]

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高中数理化杂志2017年第14期
高中数理化
主办:北京师范大学
出版:高中数理化杂志编辑部
出版周期:半月
出版地:北京市

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